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练习函数ｆ（ｘ）定义在正整数集上，且满足
ｆ（ｎ）＝
ｎ－３（ｎ≥１０００）ｆｆ（ｎ＋５）（ｎ＜１０００）求ｆ（８４）．
四、归纳性穿脱法
“穿”、“脱”函数符号“ｆ”是一种有序的过程，由内至外一层层穿上ｆ或由外至内一层层脱去ｆ，这往往是一个有序的过程。因此在“穿脱”的过程应寻求、归纳其所蕴含的规律，最后达到化简求解的目的。
例４已知函数ｆ（ｘ）＝２ｘ１＋ｘ
ｘ∈Ｒ＋若
ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ）ｆｎ（ｘ）＝ｆ（ｆｎ－１（ｘ））
（ｎ∈Ｎｎ≥２）求ｙ＝ｆｎ（ｘ）的解析式．
解：ｆ２（ｘ）＝２ｆ１（ｘ）１＋ｆ１（ｘ）
＝４ｘ１＋３ｘ
ｆ３（ｘ）＝２ｆ２（ｘ）
１＋ｆ２（ｘ）
＝８ｘ１＋７ｘ
ｆ４（ｘ）＝２ｆ３（ｘ）
１＋ｆ３（ｘ）
＝１６ｘ１＋１５ｘ
……
一般地可猜想ｆｎ（ｘ）＝２ｎｘ１＋（２ｎ－１）ｘ
不难用数学归纳法证明，这里略．
编者注：此题也可以用辅助数列法，设
ｂｎ＝１
ｆｎ（ｘ）
则ｂｎ＝１２ｂｎ－１＋１
２可求ｂｎ．
五、特殊值穿脱
例５设ｆ（ｘ）是定义在实数集上的函数，且对任意实数ｘｙ有
ｆ（ｘ＋ｙ）＋ｆ（ｘ－ｙ）＝２ｆ（ｘ）ｃｏｓｙ求ｆ（ｘ）．
解：在已知等式中，取特殊值，依次令：
ｘ＝０ｙ＝ｔｘ＝π２＋ｔ
ｙ＝π２ｘ＝π
２ｙ＝π
２＋ｔ有
ｆ（ｔ）＋ｆ（－ｔ）＝２ｆ（０）ｃｏｓｔｆ（π＋ｔ）＋ｆ（ｔ）＝０ｆ（π＋ｔ）＋ｆ（－ｔ）＝－２ｆ（π２）ｓｉｎｔ．
设ａ＝ｆ（０）ｂ＝ｆ（π２）从上面三式中消去ｆ（－１）ｆ（π＋ｔ）
得ｆ（ｔ）＝ａｃｏｓｔ＋ｂｓｉｎｔ
即ｆ（ｘ）＝ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘ．
六、待定系数穿脱法
例６已知二次函数ｆ（ｘ）满足条件：
①ｆ（－１）＝０．
②对一切ｘ的值均有ｘ≤ｆ（ｘ）≤１＋ｘ２２
成立，求ｆ（ｘ）的解析式．
解：由已知可设ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）
∵ｆ（－１）＝０∴ｂ＝ａ＋ｃ
由ｘ≤ｆ（ｘ）≤１＋ｘ２２
知ｆ（１）＝ａ＝ｂ＋ｃ＝１．
∴ｂ＝ａ＋ｃ＝１２．
又∵对一切ｘ均有ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ≥ｘ
即ａｘ２＋（ｂ－１）ｘ＋ｃ≥０
∴ａ＞０△＝（ｂ－１）２－４ａｃ≤０
即ａｃ≥１１６∴ａ＝ｃ＝ｂ２＝１４
∴ｆ（ｘ）＝１４ｘ２＋１２ｘ＋１４．
七、综合穿脱法
函数迭代的有关穿脱问题，有时和其他问题综合在一起，因此如何巧妙地“穿”、“脱”综合加以考虑，综合运用．
例７如果有一个函数ｆＮ→Ｎ是严格递增的，且对每个ｎ∈Ｎ都有ｆ（ｆ（ｎ）＝ｋｎ．
求证对任何ｎ∈Ｎ有２ｋｋ＋１
ｎ≤ｆ（ｎ）≤ｋ＋１２
ｎ
证明：∵函数ｆＮ→Ｎ是严格递增的．
∴对任意自然数ａ≤ｂ都有
ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）≥ｂ－ａ①
ｆ（ｆ（ｆ（ｎ））－ｆ（ｆ（ｎ））
≥ｆ（ｆ（ｎ））－ｆ（ｎ）≥ｆ（ｎ）－ｎ②
又∵ｆ（ｆ（ｎ））＝ｋｎ
∴ｆ（ｆ（ｆ（ｎ）））＝ｋｆ（ｎ）③
③代入②得：
ｋｆ（ｎ）－ｋｎ≥ｋｎ－ｆ（ｎ）≥ｆ（ｎ）－ｎ④
解④得：２ｋｋ＋１
ｎ≤ｆ（ｎ）≤ｋ＋１２
ｎ．
注①式为解题奠定了基础，“穿”上函数符号“ｆ”后，由①得不等式链②，为得到特征不等式明确了方向 此文章共有3页 1 2 3
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