探求、讨论函数的有关性质，历来都是高考和各级数学竞赛的重点之一。例如求解函数或反函数的不等式，函数不等式的证明，函数周期性的探索等问题。而解决这类问题的关键主要是函数符号“ｆ”如何“穿脱”，本文结合具体例子谈一些“ｆ”的“穿脱”技巧与方法。
一、单调性穿脱法
利用特殊函数的单调性，对函数符号“ｆ”进行“穿脱”，从而达到化简的目的，使问题获解。
例１已知ｆ（ｘ）是定义在－１，１上的奇函数，ｆ（１）＝１，若ａ、ｂ∈－１，１，ａ＋ｂ≠０时，有ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）ａ＋ｂ
＞０解不等式ｆ（ｘ＋１２）＜ｆ（１
ｘ－１
）．
分析：本题的关键是根据已知条件，判断函数的单调性，据此再脱去“ｆ”
任取ｘ１ｘ２∈－１１且ｘ１＜ｘ２
∵ｆ（ｘ）是奇函数，
∴ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）＋ｆ（－ｘ１）
＝ｆ（ｘ２）＋ｆ（－ｘ１）ｘ２＋（－ｘ１）·（ｘ２－ｘ１）＞０．
即ｆ（ｘ２）＞ｆ（ｘ１）．∴ｆ（ｘ）在－１１上是单调递增函数，原不等式等价于：
－１≤ｘ＋１２≤１－１≤１
ｘ－１
≤１ｘ＋１２＜１ｘ－１ｘ＋１２≥－１１ｘ－１
≤１ｘ＋１２＜１ｘ－１
得：ｘ＜－１或ｘ＞３２
∴原不等式的解集为：ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞３２．
二、反函数穿脱法
灵活自如地处理原函数ｆ（ｘ）与其反函数ｆ－１（ｘ）并运用ｆ－１ｆ（ｘ）＝ｘｆｆ－１（ｘ）＝ｘ进行穿脱“ｆ”．
例２已知定义域为Ｒ＋的函数ｆ（ｘ），对任意ｘｙ∈Ｒ＋恒ｆ（ｘｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）．
①求证：当ｘ∈Ｒ＋时，
ｆ（１ｘ）＝－ｆ（ｘ）
②若ｘ＞１时，恒有ｆ（ｘ）＜０
求证：ｆ（ｘ）必有反函数；
③设ｆ－１（ｘ）是ｆ（ｘ）的反函数，求证：ｆ－１（ｘ）在其定义域恒有ｆ－１（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ－１（ｘ１）·ｆ－１（ｘ２）．
解：①∵ｆ（１）＝ｆ（ｘ·１ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（１ｘ）
又ｆ（１）＝ｆ（１）＋ｆ（１）即ｆ（１）＝０
∴ｆ（１
ｘ）＝－ｆ（ｘ）．
②ｘ１、ｘ２∈Ｒ＋且ｘ１＜ｘ２时ｘ２ｘ１＞１
∴ｆ（ｘ２
ｘ１）＜０．
由ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘｙ·ｙ）＝ｆ（ｘ
ｙ）＋ｆ（ｙ）
有ｆ（ｘ
ｙ）＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）故ｆ（ｘ２ｘ１）＝ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）＜０
则ｆ（ｘ）在Ｒ＋上是减函数，
∴ｆ（ｘ）必有反函数．
③设ｆ－１（ｘ１）＝ｎ１ｆ－１（ｘ２）＝ｎ２
则ｆ（ｎ１）＝ｘ１ｆ（ｎ２）＝ｘ２
且ｆ（ｎ１·ｎ２）＝ｆ（ｎ１）＋ｆ（ｎ２）＝ｘ１＋ｘ２
∴ｆ
－１（ｘ１＋ｘ２）＝ｎ１ｎ２
即ｆ－１（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ－１（ｘ１）·ｆ－１（ｘ２）．
三、周期性穿脱法
在求解有关函数迭代问题时，可利用函数的周期性进行“ｆ”的穿脱，做到需穿则穿，需脱则脱，从而优化解题过程。
例３定义域为正整数的函数ｆ（ｎ）满足：
ｆ（ｎ）＝
ｎ－３（ｎ≥１０００）ｆｆ（ｎ＋７）（ｎ＜１０００）试求ｆ（９０）
解：记ｆｍ（ｎ）＝ｆ（ｆ…ｆｍ个ｆ
（ｎ））
∵９０＋（ｍ－１）×７＝１０００ｍ＝１３１．
∴ｆ（９０）＝ｆ２（９７）＝…＝ｆ１３１（１０００）
又ｆ（１０００）＝９９７
ｆ（９９７）＝ｆ２（１００４）＝ｆ（１００１）＝９９８
ｆ（９９８）＝ｆ２（１００５）＝ｆ（１００２）＝９９９
ｆ（９９９）＝ｆ２（１００６）＝ｆ（１００３）＝１０００
１３１＝４×３２＋３
∴ｆ（９０）＝ｆ１３１（１０００）＝ｆ３（１０００）＝ 此文章共有3页 1 2 3
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